![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
hgr1. Непредикативность "бытия Богом"
Как известно, замечательную точку зрения на этот предмет высказал Гёдель, а я ее недавно откомментировал-- но, как вижу, неудачно.
Гедель в своем варианте онтологического доказательства бытия Божия "абсорбировал" сингулярный терм "Бог" в предикат "быть Богом", а потом определил этот предикат как "быть Богом -- значит обладать всеми положительными свойствами". для определения "бога философов" оно, может быть (и скорее всего), так и надо, но с Богом Дионисия Ареопагита возникают проблемы. раньше мне бросалась в глаза только наиболее очевидная: а как быть с отрицательными свойствами? но реально проблемы глубже и глыбже. начинать надо с impredicativity понятия бытия Божия: его нельзя "абсорбировать в предикат", т.к. эта операция натыкается на парадокс Рассела: если в классе объектов «Бог» существует только один объект (т.е. Бог), ЗДЕСЬ ДОЛЖНО БЫТЬ УТОЧНЕНИЕ -- СМ. АПДЕЙТ то невозможно определить условия членства в этом классе.
Поэтому гёделевское доказательство, исходящее из некоего определения G (x) – «быть Богом» -- и затем переходящее к доказательству существования такого х, который обладает качеством G (x), просто обходит вопрос единственности Бога. Из этого доказательства не следует, что Бог может быть только один.
Между тем, согласно Дионисию Ареопагиту (DN 2:10), бытие Божие – это единственность вида (εἶδος), а не просто единственность индивидуума. Поэтому для предиката «быть Богом» G (x) нужно записать условие, которое – если по Расселу и Пуанкаре – лишает этот предикат статуса предиката (т.е. условие непредикативности):
G(x) ⊨ ∀y (G(y) → y ≡ x)
т.е. для всякого y, обладающего предикатом «быть Богом», выполняется условие тождества с х (про который уже известно, что он обладает этим предикатом).
Получается, что определение того, что значит «быть Богом», возможно только циркулярное: условие принадлежности к классу «Бог» мы определяем только через свойства индивидуума, принадлежащего к этому классу. (Поэтому, главным образом, и нельзя – для Бога Дионисия Ареопагита – принять определение «бытия Богом» по Гёделю или любое другое нециркулярное определение).
Однако это не означает, что в богословии с логикой «все плохо». Сходные проблемы, связанные с «непредикативностью», были как раз во времена Рассела обнаружены с бесконечными множествами, и эти логические проблемы имеют самое непосредственное отношение к логике Дионисия Ареопагита. Об этом в следующих сериях!
АПДЕЙТ в связи с обсуждением в комментах уточняю формулировку:
если в классе объектов «Бог» существует только один объект (т.е. Бог), и мы не знаем ни одного свойства этого объекта, которое можно было бы считать общим с другими объектами, то невозможно определить условия членства в этом классе.
Как известно, замечательную точку зрения на этот предмет высказал Гёдель, а я ее недавно откомментировал-- но, как вижу, неудачно.
Гедель в своем варианте онтологического доказательства бытия Божия "абсорбировал" сингулярный терм "Бог" в предикат "быть Богом", а потом определил этот предикат как "быть Богом -- значит обладать всеми положительными свойствами". для определения "бога философов" оно, может быть (и скорее всего), так и надо, но с Богом Дионисия Ареопагита возникают проблемы. раньше мне бросалась в глаза только наиболее очевидная: а как быть с отрицательными свойствами? но реально проблемы глубже и глыбже. начинать надо с impredicativity понятия бытия Божия: его нельзя "абсорбировать в предикат", т.к. эта операция натыкается на парадокс Рассела: если в классе объектов «Бог» существует только один объект (т.е. Бог), ЗДЕСЬ ДОЛЖНО БЫТЬ УТОЧНЕНИЕ -- СМ. АПДЕЙТ то невозможно определить условия членства в этом классе.
Поэтому гёделевское доказательство, исходящее из некоего определения G (x) – «быть Богом» -- и затем переходящее к доказательству существования такого х, который обладает качеством G (x), просто обходит вопрос единственности Бога. Из этого доказательства не следует, что Бог может быть только один.
Между тем, согласно Дионисию Ареопагиту (DN 2:10), бытие Божие – это единственность вида (εἶδος), а не просто единственность индивидуума. Поэтому для предиката «быть Богом» G (x) нужно записать условие, которое – если по Расселу и Пуанкаре – лишает этот предикат статуса предиката (т.е. условие непредикативности):
G(x) ⊨ ∀y (G(y) → y ≡ x)
т.е. для всякого y, обладающего предикатом «быть Богом», выполняется условие тождества с х (про который уже известно, что он обладает этим предикатом).
Получается, что определение того, что значит «быть Богом», возможно только циркулярное: условие принадлежности к классу «Бог» мы определяем только через свойства индивидуума, принадлежащего к этому классу. (Поэтому, главным образом, и нельзя – для Бога Дионисия Ареопагита – принять определение «бытия Богом» по Гёделю или любое другое нециркулярное определение).
Однако это не означает, что в богословии с логикой «все плохо». Сходные проблемы, связанные с «непредикативностью», были как раз во времена Рассела обнаружены с бесконечными множествами, и эти логические проблемы имеют самое непосредственное отношение к логике Дионисия Ареопагита. Об этом в следующих сериях!
АПДЕЙТ в связи с обсуждением в комментах уточняю формулировку:
если в классе объектов «Бог» существует только один объект (т.е. Бог), и мы не знаем ни одного свойства этого объекта, которое можно было бы считать общим с другими объектами, то невозможно определить условия членства в этом классе.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
единственность и (не)предикативность
Date: 2011-11-06 05:54 pm (UTC)Но тут у меня возникло некоторое недоумение - видимо, я чего-то не понял. По-вашему получается, что условие единственности приводит к непредикативности? Как же быть с определенными дескрипциями, теорию которых разработал Рассел? Они все тоже непредикативны? ;-)
Как я думаю, ничто не мешает нам указывать на единственность какого-либо объекта и создавать на основании этого свойства единственности предикаты ("наименьшее натуральное число", "ближайшая к Солнцу звезда" и т.п.). Более того, если речь идет о логических (т.е. принципиально неэмпирических) объектах, к каковым Гедель относит Бога, то они чаще всего просто обязаны быть единственными. Может существовать несколько авторов у произведения или несколько ближайших (равноудаленных) от Солнца звезд, но не может быть двух наименьших натуральных чисел или двух центров у квадрата.
Re: единственность и (не)предикативность
Date: 2011-11-06 06:20 pm (UTC)проблема в том, что нельзя назвать никакого ряда (напр., ряда натуральных чисел), в который этот элемент (Бог) будет вписываться, хотя бы и с дополнительными определениями вроде "наименьший" (или, как у Геделя, собирающий ВСЕ положительные свойства).
тут обязательно должна быть та же ситуация, что и с актуальной бесконечностью.
постинг был о том, что это заложено в самом определении Бога, если по Ареопагиту. но это также можно получить из другого тезиса Ареопагита -- о бесконечности Бога. Бог будет обладать свойствами бесконечного множества, а это тоже непредикативность.
можно сравнивать (логически) Бога с натруальными числами, но тогда Он будет похож не на одно число из этого ряда, а сразу на весь бесконечный ряд в его совокупности.
Re: единственность и (не)предикативность
Date: 2011-11-07 09:49 am (UTC)no subject
Date: 2011-11-07 07:12 am (UTC)Бытие Божие в трактовке выше («бытие единственного элемента в классе, и при этом класс тоже должен реально существовать») имеет массу вполне конкретных имплементаций, зависящих от определения класса (e.g. пустое множество в классе множеств мощности 0), либо я чего-то недопонимаю в изложенных аргументах.
И не совсем понятна применимость парадокса Рассела во втором абзаце. Нельзя ли этот пассаж переформулировать в терминах свойств и исключений (ближе к собственно парадоксу)?
no subject
Date: 2011-11-07 08:01 am (UTC)этот класс не обладает никакими свойствами, которые были бы у других индивидуумов.
скажем, Бог Гёделя обладает ВСЕМИ положительными свойствами, но предполагается, что положительными свойствами обладают и другие объекты, хотя и не всеми сразу.
а здесь даже отдельные свойства Бога не могут встречаться у других объектов.
априори (не углубляясь в учение ДА, т.е. в данные откровения) мы должны сказать, что мы так считаем по умолчанию, хотя и без абсолютной уверенности. но уверенность тоже есть, хотя в этом разделе я не хотел рассматривать основания для нее.
no subject
Date: 2011-11-07 08:38 am (UTC)Даже если допустить, что для ∀F(P(F) → □∃x:F(x)), парадокса всё равно не будет, т.к. множество {F|P(F)} распадётся на подмножества свойств Бога и всех остальных позитивных свойств.
no subject
Date: 2011-11-07 08:45 am (UTC)непредикативность возникает только там, где ни одно из свойств Бога не может быть приписано другим объектам.
в моем рассуждении выше говорится о ситуации, в которой ни одно из свойств Бога не может быть приписано другим объектам a priori. о том, что оно не может быть приписано и a posteriori, я собираюсь позже написать.
no subject
Date: 2011-11-07 09:11 am (UTC)Речь не о нём, речь о том, где и как у Вас это натыкается на парадокс Рассела. Честно говоря, я не вижу.
no subject
Date: 2011-11-07 09:27 am (UTC)общая проблема -- существование классов, для которых нельзя сформулировать условия членства. считать ли их особыми классами или же отказывать им в праве считаться классами? (это вопрос философский и не зависящий от путей, которыми пошла математическая теория множеств).
no subject
Date: 2011-11-07 09:29 am (UTC)no subject
Date: 2011-11-07 11:08 am (UTC)Мы же хотим, чтобы он
(1) был не пуст, и к тому же
(2) представлял из себя синглетон. И чтобы
(3) синглетон этот тоже был единственным.
Для обеспечения пункта (1) нам прямая дорога в параполную (paracomplete) логику, где не действует закон исключенного третьего. Тут могут существовать объекты, не попадающие ни в объем, ни в антиобъем всех тех свойств, что выполняются по крайней мере двумя объектами. (Замечу: "могут" - не значит "обязательно будут"; скорее всего, существование таких объектов придется постулировать). Будем называть данный класс "классом объектов, несравнимых со всеми остальными объектами" (Н).
Нетрудно видеть, что класс Н является синглетоном - если бы элементов в нем было несколько, само свойство "быть элементом данного класса" оказалось бы общим для двух или более объектов, что противоречит определению Н. Также легко показать, что сам класс Н является единственным (по аксиоме объемности). Таким образом, условия (2) и (3) тоже выполнены.
Главная проблема, как мне это представляется, связана с постулированием непустоты класса Н, а вовсе не с единственностью его элемента.
Ведь есть по крайней мере одно свойство, которое должны разделять ВСЕ объекты (даже несуществующие): это свойство "быть равным себе самому".
no subject
Date: 2011-11-07 11:34 am (UTC)теперь мы стали обсуждать особое свойство "несравнимости" (не очень подходящее слово, но пока оставим, имея в виду тот смысл, что свойство Н не может принадлежать другим объектам). если так определить Н, то можно постулировать существование объекта, удовлетворяющего (1), и дальше вывести (2) и (3). тогда единственность Бога будет иметь некий "принудительный", а не богооткровенный характер. мне надо подумать, насколько это соответствует мысли ДА.
возможно, это определение уже упрощает нашу изначальную ситуацию, причем, упрощает некорректно.
выше я (вслед за ДА) применил упрощенную формулу, уже исходящую из того, что все объекты могут быть только двух категорий: или тварные сущности, или Бог. но априори должно полагаться, что логически возможно много богов (хотя не все из них обязательно существуют). тогда у нас должно быть другое понимание Н:
это свойства, не разделяемые тварными сущностями, т.е. свойства исключительно божественные.
"единственность" не является таким божественным свойством по ряду причин (существует много и других единственностей, а также потому, что божественная единственность -- это форма множественности :-) -- о чем см. дальнейшие серии).
*логически* может быть много богов, но мы знаем (из откровения, т.е. постулируем), что Бог -- один.
а тогда все-таки циркулярность.
насчет тождества самому себе: это свойство для Бога точно нарушается. об этом позже. но сейчас скажу, что в этом фундаментальная особенность божественной бесконечности. где-то Симеон Новый Богослов об этом ярко пишет.
no subject
Date: 2011-11-07 03:54 pm (UTC)Возможно доказательство того, что Н является синглетоном, не вполне законно. И связано это как раз с непредикативностью свойства "быть объектом, несравнимым со всеми остальными объектами" (т.е. не иметь с ними общих свойств). Тут надо разбираться...
Что касается (не)самотождественности - я так и думал, что Вы ее отрицать будете. Не вижу, как тогда вообще можно рассуждать о Боге как об объекте. Разве что отказаться считать самотождественность свойством? Отказался ведь Кант считать свойством существование, и был прав, на мой взгляд.
no subject
Date: 2011-11-07 04:17 pm (UTC)про несамотождественность -- это Вы правильно чувствуете, куда ветер дует. этим исключается рассуждение о Боге как объекте классической логики (а то, будто бы, мы этого не знали :-), но не как объекте какой бы то ни было логики.
считать ли самотождественность свойством -- это особый вопрос. я тут думаю пока что.
насчет Канта я тоже согласен. но тут рядом большой вопрос о различении свойств и модальностей.
класс таких объектов пуст
Date: 2011-11-07 02:25 pm (UTC)Однако, по Гёделю, придётся "всё время говорить". То есть сказав так, придётся сказать о классе. Сказав что-то о классе, придётся сказать об этом что-то.