hgr

(окончание основных понятий нечеткой логики, в котором подходим и к фракталу из пропозиций)

Пропозиция. Пропозиция в нечеткой логике интерпретируется как наложение ограничивающих правил на лингвистическую переменную. Эти правила могут быть разного рода, а для представления их в общем виде вводится понятие обобщенного ограничения (Generalized Constraint). Таким образом, можно записать для пропозиции p

p → X isr R

где X — лингвистическая переменная, R — ограничивающее отношение (constraining relation), а r — индексирующая переменная, показывающая, в каком именно отношении R ограничивает X (isr = is «есть» в отношении r).

Например, пропозиция

p : Маша молода

в соответствии с этой формулой записывается как

p → ВОЗРАСТ (Маша) = молодая.

Такую запись пропозиций Заде называет канонической. В ней указывается название лингвистической переменной (ВОЗРАСТ) вместе с ее аргументом (Маша), характер ограничения (равенство[1]), значение лингвистической переменной после наложения ограничения.

С логической точки зрения смысл индексирующей переменной r соответствует интенсионалу Монтегю: это EDF, или, что то же самое, перечисление всех возможных миров, в которых наша лингвистическая переменная может принимать те или иные значения.

Но семантика Монтегю не подразумевает лингвистических переменных, то есть не подразумевает наличия функции принадлежности. Поэтому пропозиции и в семантике Монтегю, и в ее модификации у Патнема приобретают только одно из двух истинностных значений: или «истинно», или «ложно».

В нечеткой логике в определение пропозиции входит лингвистическая переменная вместе со своей функцией принадлежности. В таком случае функция принадлежности по отношению к пропозиции приобретает смысл значения истинности, которое, таким образом, может оказываться дробным: это лишь в крайних случаях 0 («ложно») или 1 («истинно»), а в общем случае — это некое реальное число единичного интервала. (В нечеткой логике типа 2 это некий интервал реальных чисел внутри единичного интервала).

Возращаясь к нашему примеру, положим, что Маше 35 лет. Тогда значение истинности нашей пропозиции «Маша молода» значительно меньше единицы, но все же достаточно заметно больше нуля (если, конечно, Маша не принадлежит ни к какому восточно-африканскому племени).

Допущение дробных значений значения истинности — фундаментальная особенность нечеткой логики. Эта особенность понадобится нам и в дальнейшем для интерпретации логической структуры самого нарратива, а не только его текстуры.

Уточненный естественный язык. Предложение «Маша молода» не обязательно содержит именно ту пропозицию, о которой мы говорили выше. Возможно, имеется в виду пропозиция, смысл которой в том, что молода именно Маша, а не какая-то другая женщина, или, в канонической записи:

p → ЖЕНЩИНА (молодая) = Маша.

Удобный способ сформулировать именно ту пропозицию, которая имеется в виду, — сформулировать вопрос, на который она отвечает. В первом случае это будет вопрос о возрасте Маши, а во втором — о том, какая именно из этих женщин молодая.

Этот пример показывает, что для перехода от естественного языка к ряду пропозиций необходимо устранить двусмысленности и эксплицировать импликации. Такой ряд пропозиций, получающихся в результате подобной обработки текстов естественного языка, Заде назвал «уточненным естественным языком» (Preciasiated Natural Language — PNL), подчеркивая, что PNL имеет, главным образом, техническую функцию для решения проблем компьютеризации достаточно простых высказываний и не претендует на роль средства понимания языка[2].

Тем не менее, именно ряд пропозиций, а не предложений естественного языка составляет нижний ряд схемы макроструктур ван Дейка (то есть ряд макроструктур нулевого уровня = микроструктур). Поэтому PNL Заде для нас важен как пример методики выделения именно ряда пропозиций из ряда предложений естественного языка. Это методика может быть как более, так и менее совершенной, но, с логической точки зрения, важна не она сама, а то, на что она указывает, — «зазор» между нулевым рядом пропозиций и последовательностью предложений текста.

«Упаковка» этого ряда пропозиций в предложения естественного языка — процесс, на изучении которого почти полностью сосредоточены все усилия лингвистов. Он имеет лишь косвенное отношение к нарратологии и поэтому может не обсуждаться в рамках настоящего исследования.

Отношения отрицания и антонимичности между нечеткими множествами. У нечетких множеств проявляются специфические свойства, когда речь заходит о применении к ним операции отрицания. Для четкого множества операция отрицания подразумевает, что имеются два множества таких, что принадлежность какого-либо элемента одному из этих множеств означает, что этот элемент не может принадлежать другому (два таких множества называются дополнительными друг к другу). Иными словами, два таких множества не пересекаются. Но с нечеткими множествами отрицание такого смысла иметь не может. Если одно нечеткое множество характеризуется функцией принадлежности μ, то дополнительное к нему множество будет характеризоваться функцией принадлежности 1 – μ, а это значит, что существуют элементы, принадлежащие обоим множествам сразу, хотя и в разной степени (так как функции принадлежности к разным множествам разные).

Но бывает важно противопоставить нечеткие множества так, чтобы исключить область пересечения. Операция отрицания для этого, очевидным образом, не годится.

Важнейший пример, когда это бывает важно, — определение термов лингвистической переменной, то есть EDF. EDF, по определению, дискретна, то есть состоит из нечетких множеств, которые не могут пересекаться. Логически эти множества соотносятся как альтернативные друг другу. В простейшем случае, когда таких множеств только два, можно говорить об отношениях антонимичности. В общем случае этот набор множеств представляет собой разбиение некоего исходного нечеткого множества при запрете на пересечения между элементами разбиения (то есть отдельными терм-множествами).

Отношения антонимичности между нечеткими множествами были подробно исследованы лишь недавно[3]. Главная их особенность (уже применительно к лингвистическим переменным) формулируется так: «Thus, in natural language, negation builds a dichotomous linguistic variable and antonymy builds a trichotomous linguistic variable» («Таким образом, в естественном языке отрицание формирует дихотомическую лингвистическую переменную, а антонимичность формирует трихотомическую лингвистическую переменную»)[4].

Это связано с тем, что антонимичность требует исключения между каждой парой антонимичных множеств третьего множества — той области, которая была бы диффузной, если бы между двумя первыми множествами существовали бы отношения не антонимичности, а отрицания. Такая третья область между двумя антонимичными терм-множествами также является нечетким множеством, функция принадлежности которого определяется как

min (1 – μ_Α_,1 – μ_{ant A})

где μ_Αи μ_ant_A — функции принадлежности нечеткого множества А и его множества-антонима, соответственно.

Более общий случай, то есть разбиение нечеткого множества на количество термов более 2, описывается более сложной математикой, но суть дела от этого не меняется. Суть состоит именно в том, что:

· При разбиении нечеткого множества на альтернативные (антонимичные) множества мы получаем для каждой пары альтернативных множеств не два, а три множества.

· Эта особенность нечетких множеств определяет аналогичное поведение также для лингвистических переменных и пропозиций.

Это тот самый тип разбиения, который ведет к образованию множества Кантора (фрактальной пыли).

[1] Намеренно уклоняюсь от классификации разных типов ограничений. В работах Заде и его школы она постоянно развивается, но для нас собственно логического значения эти подробности не имеют.

[2] Zadeh, Precisiated Natural Language (PNL), 75.

[3] Adolfo R. De Soto, Enric Trillas, On Antonym and Negate in Fuzzy Logic, International Journal on Intelligent Systems 14 (1999) 295–303; Adolfo R. De Soto, Enric Trillas, Second Thougths on Linguistic Variables // NAFIPS. 18th International Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society, 1999 (s. l., 1999) 37–41.