![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
что посоветуют математики?
Non-Leibnizian Numbers
1. Numbers, ordered pairs, and exclusive disjunction
In the set theories, the numbers are defined via the notion of “ordered pair”. In the ordered pair, a choice of one from two takes place. Then, the rows of numbers (e.g., natural numbers) are created by iteration of such choices. All the known types of numbers are defined through the notion of ordered pair.
The notion of ordered pair implies a specific logical connective, the exclusive disjunction: “exactly one from two”.
2. Two kinds of exclusive disjunction
There is a sharp distinction between the two kinds of exclusive disjunction. It becomes perceivable at the number of items reaches three.
The iteration of the common exclusive disjunction at any odd number of items in the set where the choice is to be performed leads to the equal acceptability of either choice of exactly one item or choice of all the three (or any other higher odd number) items. The table of truth-values is the following:
φ1 φ2 φ3 (φ1 ⊕ φ2) ⊕ φ3
T T T T
T T F F
T F T F
T F F T
F T T F
F T F T
F F T T
F F F F
The first row of the table shows that the iteration of the “usual” exclusive disjunction allows choosing of both only one item from the set and all the three items.
If we need a connective allowing choosing of exactly one item from three (and any other higher odd number), we have to use the connective “ternary (n-ary) exclusive OR” first described by Priest in 1941. The table of truth-values is the same as above except the first row where now the value is F.
This connective, however, does not allow establishing pairs. It allows marking one chosen element, whereas leaving all other elements alones.
3. Non-Leibnizian Numbers
Instead of ordered pairs, the ternary (n-ary) exclusive OR (where n is an odd number) creates the groups “the chosen one plus all others”, where these all others are not distinguishable in relation to either this one or each other. Moreover, each element could be taken is the chosen one. The n-ary connective is not equivalent to an iteration of either binary or ternary one: it is exactly a unique choice of one from n elements, providing that n is odd.
Thus, these elements are distinct, but they have no different properties—in contradiction to the so-called Principle of Leibniz (Leibniz himself abandoned this principle in the early 1716).
In any row of numbers, the different numbers have different proprieties, because they have different places in the row. This is because their rows are created on the base of the iteration of the binary exclusive disjunction.
If we use the ternary exclusive disjunction instead, we will not obtain any row, but we do obtain an infinite series of sets having odd numbers of elements and the number 3 as their “foundation” (in Mirimanov’s sense, that is, in the sense of foundation axiom).
The elements of such sets will be, indeed, distinct, but without having different properties. Thus, these sets will be non-Leibnizian.
These sets represent a specific kind of numbers, I think. Am I right or not?
Indeed, in the lines above I was training to describe a “theory of numbers” implied in some Byzantine triadological treatises. This is not the first case when I meet, in Byzantine theologians, some ideas normally considered as unknown to their epoch.
But now I am really perplexed because I see an idea unknown to our epoch, either. Our modern problem is that the connective ternary exclusive OR is so far little known to the logicians and probably completely unknown to set-theoreticians.
P.S. Written in the train, with a bad connexion. Thus, I am adding this reference (on the ternary exclusive OR) only now http://www.sfu.ca/~jeffpell/papers/IGPLTernaryExclOr.pdf
1. Numbers, ordered pairs, and exclusive disjunction
In the set theories, the numbers are defined via the notion of “ordered pair”. In the ordered pair, a choice of one from two takes place. Then, the rows of numbers (e.g., natural numbers) are created by iteration of such choices. All the known types of numbers are defined through the notion of ordered pair.
The notion of ordered pair implies a specific logical connective, the exclusive disjunction: “exactly one from two”.
2. Two kinds of exclusive disjunction
There is a sharp distinction between the two kinds of exclusive disjunction. It becomes perceivable at the number of items reaches three.
The iteration of the common exclusive disjunction at any odd number of items in the set where the choice is to be performed leads to the equal acceptability of either choice of exactly one item or choice of all the three (or any other higher odd number) items. The table of truth-values is the following:
φ1 φ2 φ3 (φ1 ⊕ φ2) ⊕ φ3
T T T T
T T F F
T F T F
T F F T
F T T F
F T F T
F F T T
F F F F
The first row of the table shows that the iteration of the “usual” exclusive disjunction allows choosing of both only one item from the set and all the three items.
If we need a connective allowing choosing of exactly one item from three (and any other higher odd number), we have to use the connective “ternary (n-ary) exclusive OR” first described by Priest in 1941. The table of truth-values is the same as above except the first row where now the value is F.
This connective, however, does not allow establishing pairs. It allows marking one chosen element, whereas leaving all other elements alones.
3. Non-Leibnizian Numbers
Instead of ordered pairs, the ternary (n-ary) exclusive OR (where n is an odd number) creates the groups “the chosen one plus all others”, where these all others are not distinguishable in relation to either this one or each other. Moreover, each element could be taken is the chosen one. The n-ary connective is not equivalent to an iteration of either binary or ternary one: it is exactly a unique choice of one from n elements, providing that n is odd.
Thus, these elements are distinct, but they have no different properties—in contradiction to the so-called Principle of Leibniz (Leibniz himself abandoned this principle in the early 1716).
In any row of numbers, the different numbers have different proprieties, because they have different places in the row. This is because their rows are created on the base of the iteration of the binary exclusive disjunction.
If we use the ternary exclusive disjunction instead, we will not obtain any row, but we do obtain an infinite series of sets having odd numbers of elements and the number 3 as their “foundation” (in Mirimanov’s sense, that is, in the sense of foundation axiom).
The elements of such sets will be, indeed, distinct, but without having different properties. Thus, these sets will be non-Leibnizian.
These sets represent a specific kind of numbers, I think. Am I right or not?
Indeed, in the lines above I was training to describe a “theory of numbers” implied in some Byzantine triadological treatises. This is not the first case when I meet, in Byzantine theologians, some ideas normally considered as unknown to their epoch.
But now I am really perplexed because I see an idea unknown to our epoch, either. Our modern problem is that the connective ternary exclusive OR is so far little known to the logicians and probably completely unknown to set-theoreticians.
P.S. Written in the train, with a bad connexion. Thus, I am adding this reference (on the ternary exclusive OR) only now http://www.sfu.ca/~jeffpell/papers/IGPLTernaryExclOr.pdf
no subject
по сути дела: что у Вас с аксиомой выбора и соответственно с теоремой Цермелло? Вообще хорошо бы ключевую часть
++e choice of one from n elements, providing that n is odd.
Thus, these elements are distinct, but they have no different properties—in contradiction to the so-called Principle of Leibniz (Leibniz himself abandoned this principle in the early 1716).
In any row of numbers, the different numbers have different proprieties, because they have different places in the row. This is because they rows are created on the base of the iteration of the binary exclusive disjunction.
If we use the ternary exclusive disjunction instead, we will not obtain any row, but we do obtain an infinite series of sets having odd numbers of elements and the number 3 as their “foundation” (in Mirimanov’s sense, that is, in the sense of foundation axiom).
The elements of such sets will be, indeed, distinct, but without having different properties. Thus, these sets will be non-Leibnizian.
These sets represent a specific kind of numbers, +++
немного прояснить. Имеющиеся опечатки и неровности стиля не способствуют пониманию.
no subject
вообще говоря, тут специально не обсуждается аксиома выбора (тем более не обсуждаются ограничения Цермело-Френкеля: мы остаемся в рамках "наивной" теории множеств, все наши парадоксы при нас).
но можно сказать, что аксиома выбора тут подразумевается -- в пределах моего описания, которое было стимулировано Никифором Влеммидом.
но в общем случае аксиомы выбора может не быть. я уже думаю, как бы рассмотреть этот общий случай. тут ведь возникает не только вопрос о различии объектов с абсолютно одинаковыми свойствами, но также и вопрос параконсистентных множеств, где элементы одновременно отличаются и не отличаются друг от друга (вроде того, чем Краузе и Ко. занимаются сейчас в квантовой логике).
опечатки поправил сейчас, стиль -- нет.
суть в том, что вместо обычного теоретико-множественной интерпретации чисел через ряды упорядоченных пар предлагаются не ряды и не пары, а три- и n-плеты с выбором только первого элемента. из логических свойств тернарного и эн-арного ИЛИ известно, что это даст такую картину, которая не будет редуцироваться к набору пар при любом нечетном n от 3 и выше. поэтому будет иметь место аксиома фундирования при основании 3.
no subject
В теории же множеств есть традиция задавать их так: 0 = пустое множество, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, 4 = {0,1,2,3} и т.д. В общем случае число n = множество, состоящее из всех предыдущих чисел. Этот подход хорош тем, что его дословно так же можно продолжить "дальше вправо", на ординалы, aka трансфинитные числа.
При таком подходе упорядоченных пар так сразу не не видно. Можно задать числа и как-нибудь иначе. В любом случае принцип, что число однозначно задаётся своим местом в ряду, сохранится.
Если говорить про "симметричные" конструкции, то есть, например, кватернионы, там есть три мнимых единицы, которые никак не различаются между собой.
no subject
большое спасибо за пример с гиперкомплексными числами (тут ведь не только кватернионы)! но у всех этих чисел есть реальная составляющая, а тут -- в "не-лейбницевском" случае -- ее нет.
no subject
В целом кажется понятным, что числа не создаются сами по себе, а следуют за реальностью. Так уж устроен наш мир, что в нём бывает одна собака (живая), две собаки, три собаки и т.д., а каких-то альтернативных способов исчислять их не видно.
Если мы хотим создавать новые объекты и называть их числами, имеет смысл начать с поиска объектов, которые мы будем ими "считать". Не уверен, что исключающее n-местное "или" может сыграть тут какую-то важную роль. Если же объектов нет, то остаётся только фантазировать (математика в этой задаче в XX веке весьма преуспела).
no subject
я же не математик, чтобы выдумывать или уметь увидеть новые математические объекты.
no subject
no subject
В любой логике есть натуральный ряд, он по разному пополняется делается более или менее удобным для чего-то. Я бы только убрал критику что де что то там не известно логикам или множества - теоретикам. Современный формализм этого дела звать бесконечность (тут восьмерка на боку) - топосами и там все эти соотношения логик и арифметик выразимы и во всю играют сейчас в текущем времени, решая трудные задачи. Третий игрок в этом деле - понятие простраства или "места"по Платону. Ну византолога я там не видел еще:)
no subject
про Пеано и "имя ничто" в математике я себе как-то так и представлял. там свои интересные вопросы (т.к. понятие синглетона, в отл. от понятия пустого множества, нельзя представить непарадоксально, и это другой конец парадокса Рассела, от которого бежали все "ненаивные" теории множеств; об этом -- в смысле постановки вопроса -- "мереология" Лесневского и, в современной логике, Дэвида Льюиса).
а сейчас я о другой проблеме. ты пишешь: "Во всяком случае из протеворечивости следовало бы что математики нет и вообще нас нет. "
теперь существует много видов противоречивой логики, причем, даже самые радикальные из них позволяют построить и какие-то математики (как общее введение см. http://plato.stanford.edu/entries/dialetheism/ ). поэтому противоречивость -- не проблема.
проблема, которую я пытаюсь обсудить, -- замена понятия ряда (того, что растет в одну сторону), понятием роста во все стороны сразу. оно может быть основано на другом логическом коннективе -- другом виде эксклюзивной дизъюнкции, которая не является (часто применяемой в математике) итерацией выбора из двух.
описание логической стороны дела (не первое -- первое появилось в 1941 г., -- но самое полное на сегодняшний день) -- http://www.sfu.ca/~jeffpell/papers/IGPLTernaryExclOr.pdf .
вопрос к математике в том, что будет, если этим коннективом заменить обычную эксклюзивную дизъюнкцию, т.е. заменить упорядоченные пары такими вот логическими чудовищами.
no subject
...Извините пожалуйста, я влез как бы кованными сапогами в посудную лавку, и порушил дивное единодушие ищущих математической гармонии...
...А сейчас в "Кредо ру" был поднят вопрос, который было бы неплохо обсудить: касаемо хождения в церковь, но "площадка" "де факто" - осквернена, и "Обсуждение" оказалось "под вопросом"...